动态规划算法入门与实战

引言

动态规划（DP）是算法面试的重点和难点。本文从零开始讲解动态规划的核心思想和解题套路，助你掌握DP精髓。

一、动态规划基础

1.1 什么是动态规划？

动态规划是通过把原问题分解为子问题，存储子问题的解来避免重复计算。

核心思想：

1. 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解
2. 重叠子问题：递归过程中反复求解相同的子问题

1.2 动态规划 vs 递归

// 斐波那契数列 - 递归（指数时间复杂度）
public int fibRecursive(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fibRecursive(n - 1) + fibRecursive(n - 2);
}

// 斐波那契数列 - 动态规划（线性时间复杂度）
public int fibDP(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    
    return dp[n];
}

// 空间优化版本
public int fibOptimized(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    
    int prev2 = 0, prev1 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int curr = prev1 + prev2;
        prev2 = prev1;
        prev1 = curr;
    }
    
    return prev1;
}

二、经典一维DP

2.1 爬楼梯（LeetCode 70）

// 每次可以爬1或2个台阶，有多少种方法爬到第n阶？
public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    
    return dp[n];
}

2.2 打家劫舍（LeetCode 198）

// 不能抢相邻的房子，求最大金额
public int rob(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return nums[0];
    
    int[] dp = new int[n];
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
    
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
    }
    
    return dp[n - 1];
}

// 空间优化
public int robOptimized(int[] nums) {
    int prev2 = 0, prev1 = 0;
    
    for (int num : nums) {
        int curr = Math.max(prev1, prev2 + num);
        prev2 = prev1;
        prev1 = curr;
    }
    
    return prev1;
}

2.3 最长递增子序列（LeetCode 300）

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] dp = new int[n];
    Arrays.fill(dp, 1);
    
    int maxLen = 1;
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);
    }
    
    return maxLen;
}

// 优化版本：二分查找，O(n log n)
public int lengthOfLISOptimized(int[] nums) {
    List<Integer> tails = new ArrayList<>();
    
    for (int num : nums) {
        int pos = Collections.binarySearch(tails, num);
        if (pos < 0) {
            pos = -(pos + 1);
        }
        
        if (pos == tails.size()) {
            tails.add(num);
        } else {
            tails.set(pos, num);
        }
    }
    
    return tails.size();
}

三、经典二维DP

3.1 最小路径和（LeetCode 64）

public int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length;
    int n = grid[0].length;
    
    int[][] dp = new int[m][n];
    dp[0][0] = grid[0][0];
    
    // 初始化第一行
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    
    // 初始化第一列
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    
    // 填充dp表
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
        }
    }
    
    return dp[m - 1][n - 1];
}

3.2 最长公共子序列（LeetCode 1143）

public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int m = text1.length();
    int n = text2.length();
    
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    
    return dp[m][n];
}

3.3 编辑距离（LeetCode 72）

public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length();
    int n = word2.length();
    
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    
    // 初始化
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    
    // 填充dp表
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(
                    Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]),
                    dp[i - 1][j - 1]
                ) + 1;
            }
        }
    }
    
    return dp[m][n];
}

四、背包问题

4.1 0-1背包

public int knapsack(int[] weights, int[] values, int capacity) {
    int n = weights.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int w = 1; w <= capacity; w++) {
            if (weights[i - 1] <= w) {
                dp[i][w] = Math.max(
                    dp[i - 1][w],
                    dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1]
                );
            } else {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            }
        }
    }
    
    return dp[n][capacity];
}

// 空间优化
public int knapsackOptimized(int[] weights, int[] values, int capacity) {
    int[] dp = new int[capacity + 1];
    
    for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
        for (int w = capacity; w >= weights[i]; w--) {
            dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - weights[i]] + values[i]);
        }
    }
    
    return dp[capacity];
}

4.2 分割等和子集（LeetCode 416）

public boolean canPartition(int[] nums) {
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    
    if (sum % 2 != 0) return false;
    
    int target = sum / 2;
    boolean[] dp = new boolean[target + 1];
    dp[0] = true;
    
    for (int num : nums) {
        for (int j = target; j >= num; j--) {
            dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
        }
    }
    
    return dp[target];
}

五、股票买卖问题

5.1 买卖股票的最佳时机（LeetCode 121）

public int maxProfit(int[] prices) {
    int minPrice = Integer.MAX_VALUE;
    int maxProfit = 0;
    
    for (int price : prices) {
        if (price < minPrice) {
            minPrice = price;
        } else {
            maxProfit = Math.max(maxProfit, price - minPrice);
        }
    }
    
    return maxProfit;
}

5.2 买卖股票的最佳时机 II（LeetCode 122）

// 可以多次买卖
public int maxProfit(int[] prices) {
    int profit = 0;
    
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        if (prices[i] > prices[i - 1]) {
            profit += prices[i] - prices[i - 1];
        }
    }
    
    return profit;
}

六、DP解题套路

6.1 五步解题法

1. 定义状态：dp[i]表示什么？
2. 状态转移方程：dp[i]如何从之前的状态得到？
3. 初始化：边界条件是什么？
4. 遍历顺序：从哪里开始遍历？
5. 返回结果：最终答案在哪里？

6.2 优化技巧

// 1. 滚动数组优化空间
// 二维dp -> 一维dp

// 2. 状态压缩
// 用位运算表示状态

// 3. 记忆化搜索
Map<String, Integer> memo = new HashMap<>();

public int dfs(int i, int j) {
    String key = i + "," + j;
    if (memo.containsKey(key)) {
        return memo.get(key);
    }
    
    // 计算结果
    int result = ...;
    memo.put(key, result);
    return result;
}

七、复杂度分析

问题类型	时间复杂度	空间复杂度
一维DP	O(n)	O(n) 或 O(1)
二维DP	O(mn)	O(mn) 或 O(n)
0-1背包	O(n*capacity)	O(capacity)
最长递增子序列	O(n²) 或 O(n log n)	O(n)

总结

动态规划核心：

1. 定义状态：明确dp数组含义
2. 状态转移：找出递推关系
3. 初始化：设置边界条件
4. 优化空间：降低空间复杂度

参考资料

• LeetCode动态规划题目
• 《算法导论》
• 《剑指Offer》